假设检验 Hypothesis Testing 之双样本 t 检验

16 June 2024

t 检验还可用于检验具有相同方差的两个正态总体均值差的假设。

设\(X_1, X_2, \dots, X_{n_1}\)是来自正态总体\(\mu_1, \sigma^2\)的样本，\(Y_1, Y_2, \dots, Y_{n_2}\)是来自正态总体 \(N(\mu_2, \sigma^2)\) 的样本，且设两样本独立。记它们的样本均值为 \(\overline{X}, \overline{Y}\)，样本方差 \(S_1^2,S_2^2\)。设 \(\mu_1, \mu_2, \sigma^2\) 均未知。求检验问题：

\[H_0 : \mu_1 - \mu_2 = \delta, ~~ H_1 : \mu_1 - \mu_2 \neq \delta\]

（\(\delta\)为已知常数）的拒绝域，取显著性是水平为\(\alpha\)。

\begin{equation} t = \frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - \delta}{S_w \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \end{equation}

其中

\begin{equation} S_w = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}} \end{equation}

当\(N_0\)为真时， \(t \sim t(n_1 + n_2 -2)\)，其拒绝域的形式为：

\begin{equation} |\frac{(\overline{x} - \overline{y}) - \delta}{s_w \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}| \geq k \end{equation}

由

\begin{equation} P\{\text{当}H_0\text{为真拒绝}H_0\} = P_{\mu_1-\mu_2=\delta}\{|\frac{(\overline{X} - \overline{Y}) - \delta}{S_w \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \geq k|\} = \alpha \end{equation}

可得\(k = t_{\alpha / 2}(n_1 + n_2 - 2)\)。于是，拒绝域为

\begin{equation} |t| = \frac{|(\overline{x} - \overline{y}) - \delta|}{s_w \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}} \geq t_{\alpha / 2}(n_1 + n_2 - 2) \end{equation}

常用情况为\(\delta = 0\)。

例子：

标准方法钢铁提炼比率为

78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3

新方法提炼比率为

79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1

设两个样本相互独立，且分别来自正态总体\(N(\mu_1, \sigma^2)\)和 \(N(\mu_2, \sigma^2)\)，\(\mu_1, \mu_2, \sigma^2\)均未知。问建议的新方法能否提高提炼比率？（取\(\alpha = 0.05\)）

需要检验的假设

\[H_0 : \mu_1 - \mu_2 \geq 0, ~~ H_1 : \mu_1 - \mu_2 < 0\]

用 R 的 t.test 进行检验：

x <- c(78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3)
y <- c(79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1)
t.test(x, y, alternative="less")


	Welch Two Sample t-test

data:  x and y
t = -4.2957, df = 17.319, p-value = 0.0002355
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
95 percent confidence interval:
    -Inf -1.9055
sample estimates:
mean of x mean of y 
    76.23     79.43

p-value = 0.0004352 小于0.05，所以我们认为在显著性水平 \(\alpha = 0.05 \)下，拒绝\(H_0\)，即认为建议的方法比原方法更优。

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