假设检验 Hypothesis Testing 之关于 μ 检验

15 June 2024

在\(\sigma\)已知的条件下，关于\(\mu\)的检验，称为 Z 检验， z-testing。

因为这种检验法是利用统计量 Z 来确定拒绝域的。

\begin{equation} Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \end{equation}

当\(\sigma\)未知的时候，关于\(\mu\)的检验，称为 t 检验， t-testing 。

设总体\( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)，其中 \(\mu\), \(\sigma\)未知。我们求检验问题

\[H_0 : \mu = \mu_0, ~~ H_1 : \mu \neq \mu_0\]

的拒绝域（其中，显著性水平为\(\alpha\)）。

由于\(S^2\)是 \(\sigma^2\) 的无偏估计，用\(S\)取代\(\sigma\)得到

\begin{equation} t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} \end{equation}

作为检验统计量。当观察值

\begin{equation} |t| = |\frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}| \end{equation}

过分大时，就拒绝 \(H_0\)，拒绝域的形式为

\begin{equation} |t| = |\frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}| \geq k \end{equation}

当\(H_0\)为真时，则有

\begin{equation} \frac{\bar{X} - \mu}{S / \sqrt{n}} \sim t(n - 1) \end{equation}

故有：

\begin{equation} P\{\text{当}H_0\text{为真拒绝}H_0\} = P_{\mu_0} \{|\frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}| \geq k|\} = \alpha \end{equation}

得到

\begin{equation} k = t_{\alpha/2}(n - 1) \end{equation}

即得拒绝域为：

\begin{equation} |t| = |\frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}| \geq t_{\alpha / 2}(n - 1) \end{equation}

对于左单边检验，假设问题为：

\[H_0 : \mu \leq \mu_0, ~~ H_1 : \mu > \mu_0\]

拒绝域为

\begin{equation} |t| = |\frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}| \geq t_{\alpha}(n - 1) \end{equation}

对于右单边检验，假设问题为：

\[H_0 : \mu \geq \mu_0, ~~ H_1 : \mu < \mu_0\]

拒绝域为

\begin{equation} |t| = |\frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}| \leq - t_{\alpha}(n - 1) \end{equation}

例题：对于某批次砂矿的 5 个样品中镍的含量，经过测定为（%）：

3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24

设测定值总体服从正态分布，但参数均未知。问在\( \alpha = 0.01 \)下能否接受假设：这批矿砂的镍含量的均值为 3.25？

下面用 R 语言解答：

data <- c(3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24)
t.test(data, var.equal=TRUE, mu=3.25)


	One Sample t-test

data:  data
t = 0.343, df = 4, p-value = 0.7489
alternative hypothesis: true mean is not equal to 3.25
95 percent confidence interval:
 3.235811 3.268189
sample estimates:
mean of x 
    3.252

p-value = 0.7489 大于0.05，所以我们在显著性水平 \(\alpha = 0.05 \) 下，接受\(H_0\)，即认为总体均值为 3.25比较靠谱。

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